6ª série 7º ano

Questões: Regra de tês

01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
                              
a) 0,685m
b) 1,35m
c) 2,1m
d) 6,85
e) 18m
                             
                              
02. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m²?

a) 7 horas
b) 5 horas
c) 9 horas
d) 4 horas
e) 6h e 30min


03. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?


04. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda?


05. De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?


06. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões?

a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
e) 5


07. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de:

a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000

08. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m?

09. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los?

 10. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los  durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) 5
 Resolução:

01. C

02. A
03. 15 dias   

04. 60m e 48m    

05. 5min 37,5seg

06. E

07. C
08. 2 000m

09. 42 dias

10. E

DIVISÃO COM NÚMEROS DECIMAIS-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

DIVISÃO COM NÚMEROS DECIMAIS-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Já aprendemos a dividir números naturais no artigo como fazer contas de dividir com números naturais, usando o método antigo que era ensinado no final da década de 60 e no início da década de 70. Vamos dá continuidade a esteestudo, nesta primeira etapa, usando este mesmo método para aprender a dividir números decimais.

Já temos noções sobre o que são as ordens inteiras, ou seja, que as unidades (U) estão na primeira ordem, as dezenas (D) estão na segunda ordem, as centenas (C) estão na terceira ordem, as unidades de milhar (UM) estão na quarta ordem, as dezenas de milhar (DM) estão na quinta ordem, etc. Neste artigo vamos estudar as ordens decimais, ou seja, que os décimos (d) estão na primeira ordem, os centésimos (c) estão na segunda ordem, os milésimos (m) estão na terceira ordem, os décimos de milésimos (dm) estão na quarta ordem, os centésimos de milésimos (cm) estão na quinta ordem, etc. Já estudamos sobre multiplicação  de decimais no artigo multiplicação de números decimais e como tranformá-los em frações no artigo  transformacao de números decimais em frações, usando uma técnica de fácil aprendizado. Exercitamos também sobre  divisao de frações. Agora o nosso desafio é o aprendizado de como dividir números com decimais. Vamos à prática:

1º) Determinar o resultado da seguinte divisão: 

 

Como começar? A letra U significa unidade e d significa décimos. Bom, não posso dividir 1 unidade por 10 (ou melhor, de 1 não posso tirar 10). O que fazer? Vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0 precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 X 10 décimos = 10 décimos. Portanto,

Agora temos 10 décimos dividido por 10. Essa é moleza: 10 dividido por 10 equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 10 é igual a 10 e, 10 para 10 é zero(resto). Assim:

Portanto,

1/10 é uma unidade decimal de 1ª ordem, representada por 0,1, que quer dizer um décimo.


2º) Determinar o resultado da seguinte divisão: 

A letra U significa unidade, d significa décimos e c significa centésimos. Bom, não posso dividir 1 unidade por 100 (ou melhor, de 1 não posso tirar 100). O que fazer? Aplicar o mesmo procedimento, ou seja, vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0, precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 Unidade = 10 décimos. Portanto, 

Temos 10 décimos dividido por 100. Ainda não posso dividir 10 décimos por 100 (ou melhor, de 10 décimos não posso tirar 100). Portanto, vamos transformar 10 décimos em centésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos décimos por mais um 0. Transformando 10 décimos em centésimos, temos que:

1 0 décimos = 100 centésimos. Portanto,

Agora vamos dividir 100 por 100 que equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 100 é igual a 100 e, 100 para 100 é zero(resto). Assim:

 Portanto,

1/100 é uma unidade decimal de 2ª ordem, representada por 0,01, que quer dizer um centésimo. 

3º) Determinar o resultado da seguintes divisão: 

A letra U significa unidade, d significa décimos, c significa centésimos e m significa milésimos. Não posso dividir 1 unidade por 1000 (ou melhor, de 1 não posso tirar 1000). Inicialmente, vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0, precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 Unidade = 10 décimos. Portanto,

Agora temos 10 décimos dividido por 1000. Ainda não posso dividir 10 décimos por 1000 (ou melhor, de 10 décimos não posso tirar 1000). Portanto, vamos transformar 10 décimos em centésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos décimos por mais um 0. Transformando 10 décimos em centésimos, temos que:

1 0 décimos = 100 centésimos. Portanto,

Agora temos 100 centésimos dividido por 1000. Ainda não posso dividir 100 centésimos por 1000 (ou melhor, de 100 centésimos não posso tirar 1000). Portanto, vamos transformar 100 centésimos em milésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos centésimos por mais um 0. Transformando 100 centésimos em milésimos, temos que:

100 centésimos = 1000 milésimos. Portanto,

Agora vamos dividir 1000 por 1000 que equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 1000 é igual a 1000 e, 1000 para 1000 é zero(resto). Assim:

  

Portanto,

1/1000 é uma unidade decimal de 3ª ordem, representada por 0,001, que quer dizer um milésimo.

Adição e Subtração de Números decímais

Número decimal é aquele número que tem parte inteira e parte decimal, essas são separadas por vírgula. 
As quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) com os números decimais, para resolver é necessário utilizar algumas regras. 

Adição 

Para adicionarmos dois ou mais números decimais é preciso colocar vírgula em baixo de vírgula. 
Para fazermos qualquer adição, devemos saber que os números somados são chamados de parcelas e o resultado de soma total e que as parcelas tem que ser adicionadas da maior pela menor. 

►4,879 + 13,14 → Parcelas 

        1 
13 , 140 → Acrescentamos o zero para completar casas decimais. 
+4 , 879 
18 , 019 → Soma total 

Na soma de 4 centésimos com 7 centésimos é igual a 11 centésimos, assim fica um e “vai um”. 

► 2 + 1, 751 

  2 , 000 → Acrescentamos o zero para completar casar decimais. 
+1 , 751 
  3 , 751 

►0,3 + 1 

   1 , 0 
+ 0 , 3 
   1 , 3 

Subtração 

Para subtrairmos dois números decimais, devemos da mesma forma que na adição colocar vírgula de baixo de vírgula de vírgula. 
Sendo que o diminuendo deve ser sempre maior que o subtraendo e o resultado recebem o nome de resto ou diferença. 

• 7,37 – 2,8 → minuendo e subtraendo nessa mesma ordem. 

  6  13 
  7 , 3 7 → Minuendo 
- 2 , 8 0 → Subtraendo → acréscimo do zero para completar casas decimais. 
  4 , 5 7 → Resto ou Diferença 

Para subtrair 8 décimos, transformamos 1 inteiro em 10 décimos, ficando com 13 décimos no minuendo. Assim fazemos: 
13 – 8 = 5 
6 – 2 = 4 

► 0,25 - 0,18 

       1 15 
  0 , 2 5 
- 0 , 1 8 
  0 , 0 7 

Pra subtrair 8, transformamos 1 décimo em 10 centésimos, ficando com 15 o minuendo. Assim fazemos: 
15 – 8 = 7 
1 – 1 = 0

Multiplicação e Divisão de Fração

 As frações possuem o objetivo de representar partes de um inteiro, por exemplo, uma barra de chocolate foi dividida em doze partes, as quais nove foram servidas aos convidados de uma reunião. Para representar esta situação devemos utilizar frações, observe: 

As partes distribuídas são referentes ao numerador da fração e o inteiro corresponde ao denominador, no caso da barra de chocolate temos numerador igual a 9 e denominador igual a 12. No conjunto das frações é possível estabelecer todas as operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Iremos abordar os casos da multiplicação e divisão, demonstrando as formas mais práticas para a resolução de tais operações.

Multiplicação

A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:




Divisão

A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: “repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.

Adição e Subtração de Frações

1ª condição: denominadores iguais.

Quando os denominadores são iguais, os numeradores devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais operatórios e o valor do denominador mantido. Observe os exemplos:

2º condição: denominadores diferentes.

Nas operações da adição ou subtração envolvendo números na forma de fração com denominadores diferentes, devemos criar um novo denominador através do cálculo do mínimo múltiplo comum – MMC dos denominadores fornecidos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador correspondente, constituindo novas frações proporcionalmente iguais as anteriores e com denominadores iguais. Observe os cálculos:

Realizar o MMC entre 3 e 4.

Realizar o MMC entre 5, 9 e 12.

Realizar o MMC entre 15 e 20.

Fração:

Comparação de duas frações

(1) Por redução ao mesmo denominador

Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:

3 5	<	4 5

(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes

Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.

2 3	?	3 5

Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:

2 3	=	2×5 3×5	?	3×3 5×3	=	3 5

Temos então os mesmos denominadores, logo:

2 3	=	10 15	?	9 15	=	3 5

e podemos garantir que

2 3	=	10 15	>	9 15	=	3 5

(3) As frações possuem um mesmo numerador

Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.

Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade

3 4	>	3 8

pode ser dada geometricamente por:

3/4=6/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8	3/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.

Frações equivalentes

    Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

    Exemplo:  são equivalentes

    Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

    Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

    

    Portanto as frações  são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações

      Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração  foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração  pelo fator comum 3. Dizemos que a fração  é uma fração simplificada de .

    A fração  não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração  não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Frações equivalentes são frações que visivelmente são diferentes, mas se fizermos as devidas representações percebemos que representam a mesma quantidade. Veja o exemplo abaixo:

Imagine 4 circunferências, que fração pintada dessa circunferência será maior,  ou ?

Se dividirmos essa circunferência ao meio e pintarmos 1 pedaço a fração que irá representar a parte pintada é .


Se dividirmos essa circunferência em quatro partes e pintarmos 2 pedaços a fração que irá representar a parte pintada é .

Se dividirmos essa circunferência em 8 partes iguais e pintarmos 4 pedaços a fração que irá representar a parte pintada é .

Se dividirmos essa circunferência em 16 partes iguais e pintarmos 8 pedaços a fração que irá representar a parte pintada é .


Todas as circunferências acima são iguais, mas cada uma está repartida em partes diferentes. As partes pintadas de cada circunferência representam a metade da circunferência, então as frações , , ,  representam a mesma quantidade da circunferência.

Essas frações são chamadas de frações equivalentes por indicarem a mesma quantidade.

Portanto, podemos dizer que .

Para descobrir se uma fração é equivalente à outra existe um processo prático, veja:

Dizemos que  é equivalente a , pois se multiplicamos tanto o numerador 1 por 2 como o denominador 2 por 2 iremos obter na outra fração 2 como numerador e 4 como denominador.

Portanto, uma fração será equivalente a outra se dividir ou multiplicar o numerador e o denominador de uma delas e chegar ao valor do numerador e do denominador da outra fração.
As frações são equivalentes , pois

3 x 2 = 6
4 x 2    8

3 x 3 = 9 
4 x 3   12

3 x 4 = 12
4 x 4    16

Então, a propriedade da fração equivalente é:

Multiplicando ou dividindo o denominador e o numerador de uma fração pelo mesmo número chegaremos a uma fração equivalente a outra.