Múltiplos, Divisores, Números Primos e compostos, m.m.c. e m.d.c

Atividades Complementares de Matemática

Múltiplos, Divisores, Números Primos e compostos, m.m.c. e m.d.c

I Trimestre - 5ª série

1. Sem efetuar a divisão, assinale co um X os números divisíveis por:

a) 211 (     )                        b) 406 (     )                           c) 250 (     )

d) 118 (     )                        e) 1 113 (    )                         f)  22 004 (     )

2. Sem efetuar a divisão, assinale co um X os números divisíveis por:

a) 119 (     )                        b) 201 (     )                           c) 240 (     )

d) 113 (     )                        e) 3 103 (    )                         f)  10 101 (     )

 3. Dada a tabela com números naturais, determine as questões a seguir:

a) Use lápis azul para pintar os múltiplos de 3.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49

b) Use lápis vermelho para pintar os múltiplos de 4.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49

c) Use lápis amarelo para pintar os múltiplos de 5.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49

d) Use lápis lilás para pintar os múltiplos de 9.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49

4. Escreva certo ou errado.

a) O conjunto dos múltiplos de 7 é infinito  _________________________)

b) O conjunto dos múltiplos de 5 é finito  (_________________________)

c) O conjunto dos múltiplos de 1 é unitário (________________________)
d) O menor múltiplo de qualquer número é zero (____________________)
e) O menor múltiplo de qualquer número é ele mesmo  (_______________)
f) O conjunto  dos divisores de 12 é finito  (____________________)
g) O conjunto dos divisores de 8 é infinito  (_______________________)
h) O conjunto dos divisores de 1 é unitário  (________________________)
i) O conjunto dos divisores de 7 é o vazio  (_________________________)
j) O menor divisor de qualquer número é zero  (_____________________)
k) O menor divisor de qualquer número é 1  (_______________________)
l) O maior divisor de um número diferente de zero é ele mesmo  (______)

5. O número 45 tem 6 divisores.

a)    Quais são esses divisores?

 b)   Quantos e quais são primos? 

 6. Quais são os números primos compreendidos entre 30 e 40?

7. Quais são os divisores primos do número 39?

8. O número 49 é primo? Justifique? 

9. Qual é o único número primo que também é par?

10. Classifique os números como primos ou compostos:

 a)     11:

b)    12:

c)     28:

d)    23:

e)     17:

11. Decomponha em fatores primos os números:
a) 36                                             b) 500                                         c) 125

 12.Determinar o máximo divisor comum (m.d.c.), entre 30 e 24:

13.Determinar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.), entre 40, 60 e 100.
14.A forma fatorada de um número natural é 2³ x 3 x 5². Qual é esse número natural?

 O número natural procurado é ________________.

 15. Determine o m.m.c. nos seguintes casos:

a)     m.m.c. (80, 100)                                        b) m.m.c. (75, 45)

16.Determine o m.d.c. nos seguintes casos:

a)     m.d.c.(12, 18)                                                     b) m.d.c.(30, 95)

 

MÁXIMO DIVISOR COMUM

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)

O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c)

exemplos

consideremos os conjuntos dos divisores de 12 e 18

D12 = { 1,2,3,4,6,12}
D18 = { 1,2,3,6,9,18}

Os mesmos divisores ou números que aparecem em D12 e D18 são { 1,2,3,6} , os números ou divisores {4,9,12,18} aparecem mas não é comum nos dois divisores.

E o maior desses divisores comuns neste caso é 6 e indicamos m.d.c (12,18) = 6


exercícios

1) escreva o conjunto dos divisores de 8,9,10,12,15 e 20

a) D8={
b) D9={
c) D10= {
d) D12={
e) D15={
f) D20 ={

Processos práticos para determinação do mdc

a) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)

exemplo

determinar o mdc de 18 e 60

18 I 2
09I 3
03I 3
01


60 I 2
30 I 2
15 I 3
05 I 5
01 I


18 = 2 x 3 x 3
60 = 2 x 2 x3 x 5

comum nas duas fatorações é um número 2 e um número 3
sendo assim 3 x 2 = 6 o m.d,c,(18,60)= 6

exercício

1) determine o m.d.c.

a) m.d.c (9,12) = (R: 3)
b) m.d.c.(8,20) = (R:4)
c) m.d.c.(10,15) = (R: 5)
d) m.d.c.(9,12) = ( R: 3)
e) m.d.c.(10,20) = (R: 10)
f) m.d.c.( 15,20)
g) m.d.c.(48,18)
h) m.d.c.(30,18)
i) m.d.c.(60,36)
j) m.d.c.(30,15)
l) m.d.c.(80,48)
m) m.d.c.(3,15,12)
n) m.d.c.(20,6,14)


NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual, a 1 dizemos que eles são primos entre si

exemplos:

a) 4 e 9 são primos entre si, pois m.d.c.(4,9)= 1

b) 8 e 15 são primos entre si pois o m.d.c.(8,15) = 1


MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM  (M.M.C).

O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum (m. m. c.)

exemplo:

consideramos os conjuntos dos múltiplos de 2 e 3

M2 = { 0,2,4,6,8,10,12..........}

M3 = { 0,3,6,9,15..........}

obtemos o múltilplo comum fazendo a intersecção dos conjuntos

M2 e M3 = { 0, 6 , 12 ...}

excluindo o zero, o menor múltiplo comum é 6. e indicamos o mínimo múltiplo comum de 2 e 3 assim: m.m.c.(2,3) = 6

PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR O m.m.c.

Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)

1) determinar o m.m.c. de 120 e 80

120,80 I 2060,40 I 2
030,20 I 2
015,10 I 2
015,05 I 3
005,05 I 5001,01

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240

logo m.m.c. (120,80) = 240

2) determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6

14, 45, 06 I 207, 45, 03 I 3
07, 15, 01 I 307, 05, 01 I 5
07, 01, 01 I 7
01, 01, 01 I

2 x 3 x 3 x5 x7 = 630

logo m.m.c ( 14, 45, 06) = 630


EXERCÍCIOS

1) Determine o m.m.c. pelo processo da decomposição

a) m.m.c.(15,18) ( R: 90)
b) m.m.c.(10,12) (R: 60)
c) m.m.c.(10,6,15) (R: 30)
d) m.m.c( 12,20,3) (R: 60)
e) m.m.c(15,3) (R:15)
f) m.m.c.( 10,15) (R: 30)
g) m. m. c. ( 18, 30) (R: 90)
h) m.m.c. ( 21, 12 ) (R: 84)
i) m.m.c. ( 35,10) (R: 70)
j) m.m.c. ( 25, 80) (R: 400)
l) m.m.c.( 140,10) (R: 140)
m) m.m.c ( 8,10,25) (R: 200)
n) m.m.c.( 3,12,32) (R: 96)
o) m.m.c.(2,3,5,10) (R: 30)
p) m.m.c. ( 18, 24, 36) (R: 72)

2) Determine o m.m.c

a) m.m.c. ( 50,75) (R: 150)
b) m.m.c. ( 60,24) (R: 120)
c) m.m.c. ( 21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 28,48) (R: 336)
e) m.m.c ( 2,4) (R: 4)
f) m.m.c. ( 7,5) (R: 35)
g) m.m.c. ( 9,1) (R: 9)
h) m.m.c.( 21,7) (R: 21)
i) m.m.c. ( 8,9) (R: 72)
j) m.m.c. ( 13,26) (R: 26)
l) m.m.c ( 2,4,6) (R: 12)
m) m.m.c. ( 3,6,9) (R: 18)
n) m.m.c. ( 10,12,45) (R: 180)
o) m.m.c ( 6,8,12,15) (R: 120)
p) m.m.c ( 12,18,36,40) (R: 360)

3) calcule o m.m.c.

a) m.m.c (4,6,9,15) = (R: 180)
b) m.m.c. ( 2,10,15,45) = (R: 90)
c) m.m.c.(8,36,28,72) = (R: 505)
d) m.m.c( 45,96,10,180) = (R: 1440)
e) m.m.c( 20,30,48,120) = (R: 240)
f) m.m.c( 7,2) = (R: 14)
g) m.m.c( 8,10) = (R: 40)
h) m.m.c ( 14,21) = ( R: 42)
i) m.m.c ( 50 ,25) = (R: 50)
j) m.m.c ( 40 , 60 ) = (R: 120)
l) m.m.c.( 80,56) = (R: 560)
m) m.m.c ( 2,3,4) = (R: 12)
n) m.m.c. ( 4,6,8) = (R: 24)
o) m.m.c. ( 6,8,12) = (R: 24)
p) m.m.c.(4,8,16) = (R: 16)
q) m.m.c ( 12, 18, 36) = (R: 36)
r) m. m.c ( 12, 10, 8) = (R: 120)
s) m.m.c ( 6,8,10,12) = (R: 180)

4) Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (10,12) (R:60)
b) m.m.c. ( 6,10,15) (R: 30)
c) m.m.c. ( 14,21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 100, 150, 200) (R: 600)
e) m.m.c. (70,110) (R: 770)
f) m.m.c. (30, 75) (R:150)
g) m.m.c. (18,60) (R: 180)
h) m.m.c. (21, 35,84) (R: 420)
i) m.m.c. ( 66, 102) (R: 1122)
j) m.m.c. ( (90, 36, 54) (R: 540)
l) m.m.c. ( 48, 20, 40, 36) (R: 720)
m) m.m.c (12,36) (R:36)
n) m.m.c. ( 20,28) (R: 140)
o) m.m.c. ( 9,10) (R: 90)
p) m.m.c. ( 63,105) (R: 315)
q) m.m.c. (32,48,108) (R: 864)
r) m.m.c. (36,12,18) (R:36)

Números Primos

Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

        Exemplos:
            1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
            2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
            3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

        Observações:
        => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
        => 2 é o único número primo que é par.

        Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
        Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

            Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
            =>  ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
            =>  ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
• por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.