quarta-feira, 8 de junho de 2011

Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

  • Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

  • Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

  • Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

  • Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

  • Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

  • Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

  • Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

  • Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

  • Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si-Sp = 22-11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
    Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
    Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
    Si-Sp = 10-21
    Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
    Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

  • Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

  • Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

  • Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
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RESUMO
exercicio 

Um número é divisível por:
2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é par
3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4
5 quando termina em 0 ou 5
6 quando é divisível por 2 e por 3
9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9
10 quando termina em 0

1) Quais desses números são divisíveis por 2 ?

a) 43
b) 58 (X)
c) 62 (X)
d) 93
e) 106 (X)f) 688 (X)g) 981
h) 1000 (X)i) 3214 (X)j) 6847
l) 14649
m) 211116 (X)n) 240377
o) 800001
p) 647731350 (X)
2) Quais desses números são divisíveis por 3?

a) 72 (X)
b) 83
c) 58
d) 96 (X)
e) 123 (X)f) 431
g) 583
h) 609 (X)i) 1111
j) 1375
l) 1272 (X)
m) 4932 (X)
n) 251463 (X)o) 1040511 (X)
p) 8000240
q) 7112610 (X)
3) Quais desses números são divisiveis por 4?

a) 200 (X)
b) 323
c) 832 (X)
d) 918
e) 1020 (X)
f) 3725
g) 4636 (X)
h) 7812 (X)
i) 19012 (X)
j) 24714
l) 31433
m) 58347
n) 1520648 (X)o) 3408549
p) 5331122
q) 2000008 (X)
4) Quais desses números são divisíveis por 5?

a) 83
b) 45 (X)c) 678
d) 840 (X)e) 1720 (X)
f) 1089
g) 2643
h) 4735 (X)
i) 2643
j) 8310 (X)l) 7642
m) 12315 (X)
n) 471185 (X)
o) 648933
p) 400040 (X)
q) 3821665 (X)
a) 126 (X)
b) 452
c) 831
d) 942 (X)
e) 1236 (X)
f) 3450 (X)
g) 2674
h) 7116 (X)
i) 10008 (X)
j) 12144 (X)
l) 12600 (X)
m) 51040 (X)
n) 521125
o) 110250 (X)
p) 469101
q) 4000002 (X)
5) Quais desses números são divisíveis por 9?

a) 504 (X)
b) 720 (X)
c) 428
d) 818
e) 3169
f) 8856
g) 4444
h) 9108 (X)
i) 29133 (X)
j) 36199
l) 72618
m) 98793 (X)
n) 591218
o) 903402 (X)
p) 174150 (X)
q) 2000601 (X)
6) Quais destes números são divisíveis por 10?
a) 482
b) 520 (X)
c) 655
d) 880 (X)
e) 1670 (X)
f) 1829
g) 3687
h) 8730 (X)
i) 41110 (X)
j) 29490 (X)
l) 34002
m) 78146
n) 643280 (X)
o) 128456
p) 890005
q) 492370 (X)
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segunda-feira, 6 de junho de 2011

RAIZ QUADRADA EXATA

                                   RAIZ QUADRADA EXATA

 REGRA GERAL:
Em qualquer um dos processos a primeira coisa a ser feita é eliminarmos o penúltimo número, em seguida extraímos a raiz quadrada exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz quadrada exata, procuramos a raiz quadrada exata mais próxima deste número e menor que ele.
 1.RAIZ QUADRADA TERMINADA
EM 0 E 5.
      Eliminamos o penúltimo número, em seguida extraímos a raiz quadrada exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz quadrada exata, procuramos a raiz quadrada exata mais próxima deste número e menor que ele.

 Depois de aplicada a regra geral:
       *Adicionamos zero se ela terminar
em 0.
       Exemplo 01:
      √100    Eliminando o penúltimo número
     √ 1#0                      
     √1 + 0
       1 + 0 = 10
      Exemplo 02:
      √1600  Eliminando o penúltimo número
      √ 16#0                     
      √16 + 0
          4 + 0 = 40
      Exemplo 03:
√10000Eliminando o penúltimo número
      √ 100#0                  
      √ 100 + 0
           10 + 0 = 100
       *Adicionamos cinco se ela terminar
em 5.
 Exemplo 01:
      √225    Eliminando o penúltimo número
     √ 2#5                        
     √1 + 5
       1 + 5 = 15                                                                                                             
 Exemplo 02:
      √625    Eliminando o penúltimo número
     √ 6#5                        
     √4 + 5
       2 + 5 = 25
Exemplo 03:
       √1225 Eliminando o penúltimo número
       √ 12#5                      
       √ 9 + 5
          3 + 5 = 35
                                                                                     
                                                                                                                                  2.RAIZ QUADRADA TERMINADA
EM 1,4,6 E 9.
Eliminarmos o penúltimo número.
Exemplo 01:                   
√ 1     2   1
      √ 1    #   1
Exemplo 02:
√ 1      7     6    4
      √ 1     7    #    4
Exemplo 03:
√ 4     2       4     3     6
      √ 4    2      4    #     6
Exemplo 04:
√  1     5     7       6      0     9
      √ 1     5     7       6      #     9

 2 Extrai a raiz quadrada exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz quadrada exata, procuramos à raiz quadrada exata mais próxima deste número e menor que ele.

 Exemplo 01:                   
      √ 1     2    1  
      √ 1    #    1 
          ↓         
      √ 1                          
         ↓
         1

Exemplo 02:
√ 1      7     6    4
      √ 1     7    #    4
         ↓         
      √ 1    6                     
            ↓
            4
                 
Exemplo 03:
√ 4     2       4     3     6
      √ 4    2      4    #     6
         ↓         
      √ 4    0    0                   
               ↓
              20
      Exemplo 04:
√ 1     5     7        6     0     9
      √ 1    5    7      6     #     9
         ↓         
      √ 1      5    2    1                   
               ↓
              39

3 Calculando o termo central terminado em 25.
 

      Exemplo 01:                   
      √ 1    2    1  
      √ 1    #    1 
          ↓         
      √ 1                          
         ↓
         1+5(juntar)   
        (15)2 =15x15=225

Exemplo 02:
√ 1       7     6    4
      √ 1      7    #    4
         ↓         
      √ 1    6                     
            ↓
            4+5(juntar) 
           (45)2 =45x45=2 025

       Exemplo 03:
√ 4     2        4    3     6
      √ 4    2      4    #     6
         ↓          
      √ 4    0    0                   
               ↓
              20+5(juntar)  
             (205)2 =205x205=42 025

Exemplo 04:
√ 1     5      7       6     0     9
      √ 1    5    7      6     #     9
         ↓         
      √ 1      5    2    1                   
                    ↓
                   39+5(juntar)
                  (395)2 =395x395=156 025
     
  *Ao olhar para a raiz, saber o
 algarismo final de seu resultado.
       *Raiz quadrada menor que o
 termo central terminado em 25,
terá como último algarismo os
 números 1,2,3 ou 4,conforme
sua raiz quadrada original básica.
√  1 = 1
√  4 = 2    
√  9 = 3   
√16 = 4  
*Raiz quadrada maior que o
 termo central terminado em
 25,terá como último algarismo
 os números 6,7,8 ou 9,conforme
 sua raiz quadrada original básica.
√ 36 = 6   
√ 49 = 7    
√ 64 = 8    
√ 81 = 9
                                                                      EXERCÍCIOS

1º) Diga o final das raízes quadradas
 abaixo, sabendo que o seu termo
 central é 225.
a) √ 100 = (menor que 225)  √0 = 0               
b) √ 121 = (menor que 225) √1 = 1
c) √ 144 = (menor que 225) √4 = 2
d) √ 169 = (menor que 225) √9 = 3
d) √ 196 = (menor que 225)√16 = 4
e) √ 256 = (maior que 225) √36 = 6
f) √ 289 =  (maior que 225)√49 = 7
      g) √ 324 = (maior que 225) √64 = 8
       h) √361  = (maior que 225)√81 = 9
       2.5 Definindo o algarismo final do
resultado da raiz quadrada.

       *Verificamos se a raiz quadrada é
 menor ou maior que o termo central,
em seguida juntamos o resultado da
raiz quadrada dos algarismos da esquerda
 com o algarismo final da análise do olho
 clínico.  
      Exemplo 01:                   
      √ 1     2    1                                                        
      √ 1    #    1  
          ↓         
      √ 1                          
         ↓
         1+5(juntar)   
        (15)2 =15x15=225

       * Veja que 121, é menor
que o termo central 225,logo
 √1 = 1, juntamos o resultado da
raiz quadrada dos algarismos da
esquerda com o algarismo final
da análise do olho clínico, ficando
 então 1+1=11.  
     Exemplo 02:
√ 1       7    6    4
      √ 1      7    #    4
         ↓         
      √ 1    6                     
            ↓
            4+5(juntar)  
           (45)2 =45x45=2 025
 
√4 = 2, juntamos o resultado da
raiz quadrada dos algarismos da
esquerda com o algarismo final
da análise do olho clínico, ficando
então  4+2=42.        
       Exemplo 03:
√ 4     2       4     3     6
      √ 4    2      4    #     6
         ↓         
      √ 4    0    0                   
               ↓
              20+5(juntar)  
             (205)2 =205x205=42 025
 * Veja que 42 436, é maior que o termo central 42 025,logo  √36 = 6, juntamos o resultado da raiz quadrada dos algarismos da esquerda com o algarismo final  da análise do olho clínico, ficando então  20+6=206.        
Exemplo 04:
√ 1     5     7        6      0     9
      √ 1    5    7      6     #     9
         ↓         
      √ 1      5    2    1                   
                    ↓
                   39+5(juntar)  
                  (395)2 =395x395=156 025
        * Veja que 157 609, é maior que o termo central 156 025,logo √49 = 7, juntamos o resultado da  raiz quadrada dos algarismos da  esquerda com o algarismo final da análise do olho clínico, ficando  então  39+7=397.        
Exemplo 05:
√ 1        8    4    9
      √ 1      8    #    9
         ↓         
      √ 1    6                     
            ↓
            4+5(juntar)  
           (45)2 =45x45=2 025
      * Veja que 1 849, é menor que o termo central 2 025,logo √9 = 3, juntamos o resultado da  raiz quadrada dos algarismos da  esquerda com o algarismo final da análise do olho clínico, ficando  então  4+3=43.        
        Exemplo 06:
√ 4     1        6    1     6
      √ 4    1      6    #     6
         ↓         
      √ 4    0    0                   
               ↓
     20+5(juntar) (205)2 =205x205=42 025
  * Veja que 41 616, é menor que o termo central 42 025,logo √16 = 4, juntamos o resultado da  raiz quadrada dos algarismos da esquerda com o algarismo final da análise do olho clínico, ficando então  20+4=204.        
 Exemplo 07:
√ 2        3    0    4
      √ 2      3    #    4
         ↓         
      √ 1    6                     
            ↓
            4+5(juntar)  
           (45)2 =45x45=2 025
      * Veja que 2 304, é maiorque o termo central 2 025,logo
 √64 = 8, juntamos o resultado da raiz quadrada dos algarismos da esquerda com o algarismo final da análise do olho clínico, ficando então  4+8=48.        
      Exemplo 08:                   
      √ 3    6    1                                                        
      √ 3    #    1 
          ↓         
      √ 1                          
         ↓
         1+5(juntar)  (15)2 =15x15=225
       * Veja que 361, é maior que o termo central 225,logo √81 = 9, juntamos o resultado da raiz quadrada dos algarismos da esquerda com o algarismo final da análise do olho clínico, ficando então 1+9=19.        
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